Nu när gravitationsvågor upptäckts och Einsteins allmänna relativitetsteori — den överlägset bästa teori om gravitation människor stött på — nyligen fyllt 100 år följer två naturliga frågor: Vad är gravitationsvågor, och vad handlar egentligen Einsteins teori om?

Munroe-Einstein-solution-520

Av: Randall Munroe.

Efter 1905 hade Einsteins speciella relativitetsteori förändrat vårt sätt att se på rum och tid. De båda sågs nu som djupt kopplade. Vår rörelse genom rummet påverkar vår rörelse genom tiden. Rör du dig tillräckligt snabbt går tiden för dig märkbart långsammare än för en person i vila. En av de utgångspunkter Einstein hade för att härleda sin speciella relativitetsteori var att ingenting färdas snabbare än ljuset. Men detta stämde inte överens med Newtons teori om gravitation. Enligt Newton skulle vi på Jorden på en gång märka om en argsint och mäktig figur plockade bort Solen. Jorden skulle på en gång byta bana eftersom gravitationskraften på en gång ändras. Det skulle, enligt Newton, inta ta runt 8 minuter för oss att märka av det — vilket är tiden det tar ljuset från Solen att nå oss.

I Einsteins speciella relativitetsteori ser fysikens lagar likadana ut för två personer som färdas med olika hastigheter, så länge de inte accelererar. Men eftersom gravitation handlar om acceleration (var ju trots allt ett äpple som från ovan accelererade mot Newtons huvud) ger det motivation till att generalisera den speciella relativitetsteorin och leta efter en allmän relativitetsteori, så att två personer kan vara överens om fysikens lagar oavsett vilken hastighet eller acceleration de har. Einstein hittade en sådan teori 1915, och det är överlägset den bästa teori om gravitation vi har nu. Einstein fann att om rum och tid (förenat till ”rumtid” genom relativitetsteorin) kan krökas så kan det ge upphov till acceleration.

En bowlingboll (jämför med Solen) kröker ytan hos en trampolin (jämför med rumtiden). En liten kula kan då, genom att följa krökningen, åka runt den större bowlingbollen i en rörelse som liknar planeters omloppsbanor. På samma sätt kröker materia rumtiden och ger upphov till fenomenet vi kallar gravitation. Rumtidens geometri ger alltså upphov till gravitation! Som fysikern John Wheeler beskrev det: ”Spacetime tells matter how to move; matter tells spacetime how to curve.” Hur coolt är inte det?

Einsteins berömda ekvationer

Rumtidens geometri brukar beskrivas med en så kallad ”metrisk tensor”, som brukar skrivas som [latex]g_{\mu \nu }[/latex]. De två grekiska bokstäverna [latex]\mu \:[/latex] och [latex]\nu \:[/latex] kan ta värdena 0, 1, 2 eller 3. En nolla står för tid och 1, 2, 3 står för de tre rumsdimensionerna. Vill man då veta hur exempelvis uppfattningen av tid förändras i närhet av exempelvis en stjärna kollar man på [latex]g_{00}[/latex]. Coolt, då vet vi lite om hur geometrin brukar beskrivas, men ingenting om hur geometrin förändras av stjärnor och planeter.

Det som relaterar den metriska tensorn [latex]g_{\mu \nu }[/latex] till hur massa/energi (Einsteins kända formel [latex]E = mc^{2}[/latex]  säger att massa och energi praktiskt taget är samma sak) är utspritt i rummet ges utav Einsteins så kallade ”fältekvationer”. De kan skrivas på formen:

[latex]R_{\mu \nu } = \frac{8\pi G}{c^{4}}\left ( T_{\mu \nu }\: -\frac{1}{2}Tg_{\mu \nu } \right )[/latex]

På vänster sida har vi ”Riccis krökningstensor”. Uttrycket är komplicerat, men Riccis krökningstensor är i sort sett (andra-) derivator av [latex]g_{\mu \nu }[/latex]. Med andra ord beskriver vänstersidan rumtidens krökning. Högersidan är en konstant (du kanske känner igen Newtons gravitationskonstant och ljusets hastighet) multiplicerat med ett uttryck som innehåller ”stressenergitensorn” [latex]T_{\mu \nu }[/latex]. Stressenergitensorn beror på hur materia/energi är fördelat i rymden. I ord så säger Einsteins fältekvationer alltså (Krökning av rumtiden) = (Fördelning av massa/energi). Vi har alltså ekvationer som relaterar rumtidens geometri med materia.

Gravitationsvågor

Från Einsteins fältekvationer kan man se att gravitationsvågor — det vågliknande spridandet av en förändring i [latex]g_{\mu \nu }[/latex] — uppstår. I de flesta astronomiska sammanhangen är krökningen av rumtiden väldigt liten. Detta gäller exempelvis nära planeter och stjärnor, samt långt bort från svarta hål. Den metriska tensorn som beskriver en ”platt” (d.v.s. icke-krökt) rumtid brukar skrivas som [latex]\eta _{\mu \nu }[/latex]. Det är denna metriska tensor som beskriver den icke-krökta rumtiden i Einsteins speciella relativitetsteori. Om vi kallar den lilla avvikelse från en platt rumtid för [latex]h_{\mu \nu }[/latex]  så är den metriska tensorn helt enkelt

[latex]g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\: +\:h_{\mu \nu }[/latex]

Antar vi att avvikelsen är liten (d.v.s att [latex]h_{\mu \nu }\ll \eta _{\mu \nu }[/latex]) och stoppar in uttrycket i Einsteins fältekvationer ovan och sedan förenklar lite ger det oss

[latex]\boxempty h_{\mu \nu }= -\frac{16\pi G}{c^{4}}\left ( T_{\mu \nu }\; -\frac{1}{2}T\eta _{\mu \nu } \right )[/latex]

Den lustiga fyrkanten på vänstersida kallas för ”vågoperatorn”. I det här fallet beskriver vänstersidan utspridningen av vår lilla krökning av rumtiden, [latex]h_{\mu \nu }[/latex], med ljusets hastighet, [latex]c[/latex]. Vi har alltså kommit fram till existensen av gravitationsvågor! Det var just upptäckten av detta fenomen som fysiker presenterade förra månaden. Man hade observerat gravitationsvågor från två svarta hål, det ena med en massa på 36 Solmassor och det andra med en massa på 29 Solmassor. Den förutsägelse vi precis kommit fram till rent teoretiskt har alltså äntligen bekräftats genom direkta, oerhört noggranna experiment.

Vad skulle hända om vi trollade bort Solen eller Andromedagalaxen?

Koncentrerar vi oss på tid-tid (så 00) komponenten av [latex]h_{\mu \nu }[/latex]  kan vi förenkla ytterligare genom att notera att denna är relaterad till Newtons gravitationspotential [latex]\varphi[/latex]  genom

[latex]h_{00}=\frac{2\varphi }{c^{2}}[/latex]

Har du haft en kurs i fysik på gymnasiet kanske du kommer ihåg att Newtons gravitationspotential är [latex]\varphi =-GM/r[/latex]. Vi ser här alltså ganska direkt hur ett objekts massa [latex]M[/latex]  påverkar rumtidens geometri. För vanlig materia kan högersidan också förenklas genom

[latex]T_{00}\; -\; \frac{1}{2}T\eta _{00} = \rho c^{2} – \frac{1}{2}\rho c^{2}=\frac{1}{2}\rho c^{2}[/latex]

Där [latex]\rho[/latex]  är massdensiteten i rummet, uttryckt i kg/m³. Utanför en stjärna eller planet är t.ex. densiteten (nästan) lika med noll — ett vakuum. Vågekvationen ger då

[latex]\boxempty \varphi = \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} \varphi }{\partial t^{2}} \; -\;\nabla ^{2}\varphi  =-4\pi G\rho [/latex]

Den första termen på vänster sida är andra derivatan av gravitationspotentialen med avseende på tid, och den uppochnedvända triangeln är en derivata med avseende på position. Vi ser att om ljusets hastighet skulle vara ‘oändligt stor’, [latex]c\rightarrow \infty[/latex]  , så att gravitation färdas oändligt snabbt, har vi bara derivatan med avseende på position kvar och då får man [latex]\nabla ^{2}\varphi  =4\pi G\rho[/latex]. Detta är en fundamental ekvation i Newtons teori om gravitation. Så vi ser att Einsteins allmänna relativitetsteori, precis som den skulle fixa, gör att en förändring i gravitationspotentialen — och genom det, också gravitationskraften — färdas med ljusets hastighet, och inte oändligt snabbt.

Andromedagalaxen. Foto: Adam Evans.

Vackert foto av Andromedagalaxen, som du kan på en klar natthimmel i stjärnbilden Andromeda. Foto: Adam Evans.

Skulle vi därför trolla bort Solen skulle det ta ca. 8 minuter innan Jorden märker av att Solen inte är där, och sen slungas ut i det kalla och tysta interstellära mediet. Vintergatan och Andromedagalaxen är på väg att kollidera. Vi närmar oss Andromeda med en fart på ca. 120 km/s (ja, per sekund, inte per timme!). Andromeda befinner sig ca. 2,5 miljoner ljusår bort. Därför skulle vi fortsätta falla mot Andromeda i ytterligare hela 2,5 miljoner år om vi trollade bort Andromeda nu. Hur sjukt är inte det? Som tur är finns det ingen som helst anledning att tro att någon så elak och mäktig trollkarl existerar.

Vi vet att vi både ser stjärnor som de såg ut i det förflutna, men Einsteins teori om gravitation säger också vår rörelse genom tid och rum är i respons till hur Universum såg ut i det förflutna.