Fraktaler är inte begränsade till algoritmer, utan förekommer även ofta i dynamiska system. Ett mycket känt exempel kommer från väderfenomen. Väder är ett av de svåraste områdena att modellera inom fysiken. För att korrekt kunna förutsäga hur vädret kommer att se ut om några dagar måste man ta hänsyn till rörelsen hos enskilda atomer, och även det hade inte varit tillräckligt. Därför har man utvecklat några mer globala parametrar, såsom temperatur, tryck, fuktighet och mycket mer, för att lättare kunna hålla koll på egenskaperna hos olika vädersystem.
Ett exempel på ett sådant förenklat system är konvektion, något som många av oss kanske har hört talas om. Om du värmer en kastrull med vatten kommer värmen från kokplattan att överföras till vattnet. Höjer du värmen ännu mer, kommer vattnet i kastrullens botten att ha högre temperatur än vattnet på ytan. Detta gör att vattnet vid botten får lägre densitet än vattnet vid ytan, vilket gör att vattnet vid botten stiger uppåt medan vattnet vid ytan sjunker nedåt. När det varma vattnet kyls ner och det kalla vattnet värms upp, fortsätter samma process. Låt oss nu höja värmen ännu mer. Vattnet vid botten värms upp ännu snabbare, så att när kallt vatten sjunker värms det omedelbart och stiger upp igen, medan det knuffar på det varma vattnet som redan finns där. Vi har alltså skapat ett våldsamt och turbulent flöde i vattnet.
Edward Lorenz var en amerikansk meteorolog som ville skapa en enkel modell av konvektion, som endast tar hänsyn till hur temperaturen och cirkulationen förändras över tid. För detta använde han följande ekvationssystem.
Det kanske ser lite mer komplicerat ut än det är, men det enda du behöver förstå är att de första två ekvationerna beskriver temperaturförändringen över tid, medan den sista ekvationen beskriver vattnets cirkulation under händelseförloppet. Om vi nu använder en dator för att lösa dessa tre ekvationer, får vi följande resultat.
Det här är ren kalabalik. Det finns ingen information att utläsa från ovanstående graf. Till skillnad från andra grafer som du kanske har stött på tidigare, har dessa tre grafer inget mönster att följa. Med andra ord skulle det vara omöjligt för dig att fortsätta rita resten av dessa tre grafer baserat på det som redan finns. Detta är vad vi menar med kaos. Oavsett var du letar, kommer du aldrig att hitta någon periodicitet. Det finns inget som upprepar sig, inga mönster, inga sekvenser – INGENTING! Men Lorenz valde att inte stanna här. Istället för att rita ut hur dessa tre parametrar utvecklas över tid, kan vi istället rita ut hur parametrarna utvecklas i förhållande till varandra. Med andra ord, istället för att rita x-t, y-t och z-t-grafen, kan vi rita x-y-z-grafen. För att visualisera den nya bilden behöver vi därför använda tre dimensioner istället för två.
Titta! Från oordning uppstår ordning! En samling av slumpmässiga linjer samarbetade på ett mycket specifikt sätt för att ge upphov till ovanstående struktur som liknar vingarna på en fjäril. Detta är Lorenz-attraktorn, starten på mänsklighetens livslånga uppdrag att försöka omvandla oordning till ordning. Namnet på detta forskningsfält är kaosteorin. Det är faktiskt från denna graf som namnet på fjärilseffekten och fjärilsmetaforen härstammar.
Små ändringar i ett kaotiskt system kan ge upphov till stora konsekvenser över tid. Precis som att fladdrandet av en fjärils vingar kan orsaka en tornado efter flera veckor, kan en liten förändring av starttemperaturen hos vattnet i kastrullen leda till skapandet av en helt ny attraktor!
Men anledningen till att jag skriver om Lorenzattraktorn är inte bara kopplingen till kaosteorin utan också till fraktaler. Ja, du hörde rätt. Lorenzattraktorn, bilden du såg för några sekunder sedan, klassas som en fraktal. Den geometri vi diskuterade i de föregående artiklarna är identisk med geometrin som beskriver kaotiska system. På ett sätt kan det kännas poetiskt att denna exotiska typ av geometri ger upphov till sådana system, men man kan också undra varför Lorenzattraktorn är en fraktal. Det finns varken självlikformiga strukturer eller algoritmer som används. Det känns som att vi bryter mot alla konventioner som vi har byggt hittills. Svaret på den här frågan är detsamma som alltid: har du en fraktal, har du en “fractional dimension.” I det här fallet finner vi fraktala egenskaper hos attraktorn i tätheten av linjerna. Ju mer vi förstorar fraktalen, desto fler linjer tillkommer. Vi har en oändlig densitet av linjer som aldrig korsar varandra. För att verkligen se detta måste man betrakta attraktorn i tre dimensioner. Vill du veta mer om attraktorn skulle jag starkt rekommendera att du kollar på videon nedan.
Medverkande
Hasan Al-Husieni
Senast uppdaterad
2024/08/25