Vänta, vad pratade vi om igen..?

Innan vi går vidare till en strikt definition av vad en fraktal är inom matematiken, är det kanske bättre att börja med att nämna några egenskaper som många fraktaler har. I grund och botten genererar man en fraktal genom att upprepa en regel ett antal gånger, vilket inom matematiken kallas för en algoritm. Många av oss har kanske stött på ekvationer tidigare. Skillnaden mellan en ekvation och en algoritm är att i en ekvation är vi intresserade av resultatet direkt efter att vi har utfört beräkningen. Däremot, i en algoritm är vi intresserade av vad som händer efter att vi har utfört beräkningen ett godtyckligt antal gånger.

När vi konstruerar fraktaler tillämpar vi algoritmer ett oändligt antal gånger; alltså är vi intresserade av algoritmens gränsvärde. Det låter kanske mer komplicerat än vad det är, men det enda du behöver förstå är att för att skapa en fraktal måste vi börja med något, sedan transformera det på något sätt, och slutligen ta resultatet av transformationen och repetera processen från början ett stort antal gånger. Som du kommer att se i nästa artikel, är det oftast mycket enkla transformationer som kan generera otroligt komplexa bilder.

Två andra sällsynta egenskaper hos fraktaler är självlikformighet och skalinvarians. Återigen kanske detta låter mer komplicerat än vad det faktiskt är, men egentligen är detta de mest kännetecknande egenskaperna hos fraktaler. Med självlikformighet menar vi att fraktalens mönster upprepar sig vid olika förstoringar, med andra ord projicerar fraktalen sig själv på sig själv. Med skalinvarians menar vi en mer strikt version av självlikformighet där fraktalen innehåller exakta kopior av sig själv vid alla förstoringar. Ett exempel på dessa två egenskaper är Kochkurvan, uppkallad efter den svenske matematikern Helge von Koch, och Mandelbrotmängden, som vi kommer att diskutera i nästa artikel.

Nu när vi har blivit lite mer bekanta med vad vi menar med dessa monsterkurvor är vi äntligen redo att rigoröst definiera vad det innebär att en geometrisk form är en fraktal. Den här definitionen är lite mer komplicerad än vad vi har gått igenom hittills, så om du känner att du vill hoppa över till nästa artikel, är du faktiskt välrustad att fortsätta och sedan komma tillbaka hit som en bonus om du vill.

En fraktal är en geometrisk form som har en icke-heltalig dimension¹. För personer som inte är insatta i matematik kanske detta låter som matematisk jargong, medan det för mer pålästa personer kan framstå som nonsens. Innan du klickar bort från artikeln kan vi ta det här steg för steg. Vi är alla bekanta med den tredimensionella världen, det är trots allt världen vi lever i. Vad vi menar med “3D” är att något har längd, bredd och djup. När det gäller “2D”, såsom när du läser denna mening, menar vi bara längd och bredd, och precis på samma sätt menar vi bara längd med “1D”.

Så vi som människor är ganska överens om vad som räknas som en endimensionell, tvådimensionell respektive tredimensionell form. Men finns det ett annat sätt att definiera ordet “dimension” som inte har att göra med antalet komponenter som krävs för att beskriva en form, men som ändå producerar samma resultat för de dimensioner vi känner till? Ett alternativt sätt att definiera dimension är nämligen genom skalförändringar. Om vi delar en meter lång endimensionell linje i mitten får vi två identiska kopior av den ursprungliga linjen. Om vi förminskar en kvadrat med sidlängden 1 till hälften, behövs fyra identiska kvadrater för att återskapa den ursprungliga kvadraten. Slutligen, om vi gör samma process med en kub som har sidlängden 1, kommer vi behöva åtta stycken av dessa självlikformiga kuber för att konstruera den ursprungliga kuben.

Processen som vi nämnde ovan kan generaliseras till andra former. Det enda vi har gjort är att skala ner formen (linje, kvadrat, kub, m.m.) med en viss skalfaktor (en halv) och sedan se hur måttet (längd, area, volym, osv.) ändras. Vi kan sammanfatta allt detta med en elegant formel.

Det här är ett alternativt sätt att definiera dimensionen, vilket är sammanhängande med de former vi redan har gått igenom. Om vi upphöjer skalfaktorn för linjen med 1 får vi tillbaka den nya längden av linjen. Upphöjer vi skalfaktorn för kvadraten med 2 får vi tillbaka den nya arean av kvadraten, och på samma sätt får vi tillbaka den nya volymen av kuben om vi upphöjer med 3. På så sätt har vi konstruerat ett system för att klassificera dimensionen av olika former. Det enda som återstår nu är att applicera det vi har lärt oss på mer ortodoxa former, nämligen fraktaler.

Ovan ser vi tre mycket självlikformiga fraktaler. Återigen har vi Kochkurvan, som är uppbyggd av fyra mindre Kochkurvor, där längden eller skalfaktorn av Kochkurvorna är en tredjedel. Vicsekkurvan och Sierpinskitriangeln är också exempel på två väldigt kända självlikformiga fraktaler som också kan delas upp i fem respektive tre mindre delar. Om du testar den ovanstående formeln som vi har utvecklat tillsammans på dessa tre former, märker du kanske snabbt att det blir svårt att hitta en dimension som stämmer. Det här är precis vad vi menar med en fraktal. Det finns ingen heltalig dimension som uppfyller vår kriterium för dessa tre former. För att beskriva dimensionen behöver vi bråktal. På ett sätt kan detta vara logiskt, eftersom man kan konstruera alla dessa tre former med en endimensionell linje, men formerna tar ändå upp lite plats på det tvådimensionella planet. Så skulle det inte vara rimligt att tilldela dessa tre former en dimension som ligger nästan halvvägs mellan 1 och 2? Det här är också vart “frak-” i fraktal kommer från, nämligen “fractional dimension” som betyder bråktalig dimension.

1.  Tekniskt sätt är det här inte helt rätt men den faktiska definitionen är för matematiskt krävande för den här artikeln. Vill du veta mer så är det bara att maila mig :) ↩︎